Калькулятор диагонали

Формула и откуда она берётся

Диагональ прямоугольника — отрезок между противоположными углами. Он делит фигуру на два прямоугольных треугольника.

В каждом из них диагональ работает гипотенузой, а стороны прямоугольника — катетами. Отсюда d = √(a² + b²).

Стороны 3 и 4 метра дают диагональ ровно 5: 9 + 16 = 25. Такие тройки целых чисел называют пифагоровыми.

Другие известные тройки: 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Их используют в разметке, потому что не нужен транспортир.

У квадрата формула упрощается: диагональ равна стороне, умноженной на корень из двух, то есть примерно на 1,414.

Диагональ коробки

У параллелепипеда диагональ идёт от угла основания к противоположному углу верхней грани, насквозь через тело.

Формула та же, только слагаемых три: d = √(a² + b² + c²). Она выводится двойным применением теоремы Пифагора.

Сначала находят диагональ основания, потом достраивают треугольник с высотой — и получают объёмную диагональ.

Коробка 3 × 4 × 12 даёт ровно 13: 9 + 16 + 144 = 169. Это редкий случай, когда все четыре числа целые.

Расчёт нужен, когда проверяют, влезет ли длинный предмет в коробку по диагонали, или считают длину растяжки в каркасе.

Проверка прямых углов диагоналями

У прямоугольника диагонали равны. У параллелограмма с косыми углами — нет. На этом построена вся строительная разметка.

Разметили фундамент, замерили обе диагонали — совпали, значит углы прямые. Не совпали — двигают углы, пока не сойдутся.

Допуск зависит от размера: примерно два миллиметра на метр диагонали. Для дома 6 на 8 метров это около 20 миллиметров.

Метод работает и на мелких работах: проверка рамы, короба, дверного проёма, каркаса из бруса.

Второй способ разметки — египетский треугольник 3-4-5: откладывают три метра по одной стороне, четыре по другой, и подгоняют, пока между концами не станет ровно пять.

Кратные тройки удобнее: 60-80-100 сантиметров для мелких работ, 3-4-5 метров для фундамента.

Диагональ экрана и соотношение сторон

У мониторов и телевизоров указывают диагональ в дюймах, а стороны не пишут вовсе.

Из одной диагонали размеры не восстановить: нужно знать соотношение сторон. У современных экранов оно 16:9, у старых было 4:3.

Телевизор с диагональю 55 дюймов при соотношении 16:9 имеет ширину 121,7 сантиметра и высоту 68,5.

Тот же 55-дюймовый экран в старом формате 4:3 был бы уже, но выше — и площадь у него оказалась бы больше.

Поэтому переход с 4:3 на 16:9 при той же диагонали означал уменьшение площади экрана примерно на 12 %.

Связь с площадью и периметром

Диагональ и периметр вместе задают прямоугольник однозначно: по ним восстанавливаются обе стороны.

Одна диагональ ничего не определяет: у прямоугольников с диагональю 5 метров стороны бывают любыми, лишь бы сумма квадратов давала 25.

Квадрат 3,54 на 3,54 и полоса 1 на 4,9 имеют одинаковую диагональ, но площади 12,5 и 4,9 квадрата.

Наибольшую площадь при заданной диагонали даёт квадрат — как и в случае с периметром.

Отношение диагонали к стороне у квадрата всегда одно: корень из двух, независимо от размера.

Частые ошибки

Складывают стороны вместо квадратов. Диагональ не равна сумме сторон и всегда короче неё.

Забывают извлечь корень и получают квадрат диагонали. Для 3 и 4 это даёт 25 вместо 5.

Считают, что диагональ коробки равна диагонали основания. Она длиннее — добавляется высота.

Восстанавливают стороны экрана по одной диагонали, не зная соотношения.

Смешивают единицы: сторону в метрах, вторую в сантиметрах.

Проверяют углы по одной диагонали. Нужны обе — сравнивают именно их между собой.

Частые вопросы

Источники

• Атанасян Л. С. Геометрия, 7–9 класс — теорема Пифагора
• СП 70.13330.2012 «Несущие и ограждающие конструкции» — допуски разметки
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике

Другие калькуляторы