Впишите число и показатель — калькулятор возведёт в степень и одновременно извлечёт корень выбранной степени из того же числа.
Степень и корень в одном расчётеОбновлено 28 августа 2026Свойства степеней и корней, школьная программа 7–9 класса
Дробный даёт корень, отрицательный — обратную величину
2 — квадратный, 3 — кубический
Введите значения — расчёт появится здесь.
Калькулятор помог?
Спасибо, прочитаем.
Степень и корень — одна операция
В школе их проходят порознь и потому воспринимают как разные вещи. На деле корень — это степень с дробным показателем.
Квадратный корень из числа — это число в степени одна вторая, кубический — в степени одна треть. Отсюда и запись через показатель, которой пользуются калькуляторы и языки программирования.
Связь удобна на практике: корень пятой степени взять нечем, а возвести в степень 0,2 умеет любой калькулятор.
Работает и в обратную сторону: степень 2/3 означает возвести в квадрат и извлечь кубический корень — порядок действий здесь неважен.
ⁿ√x = x^(1/n), x^(−n) = 1 ÷ xⁿ, x⁰ = 1
Три связи, из которых выводятся все остальные свойства
Пример
Число 81 в степени 0,5 и корень четвёртой степени
81 в степени 0,5 — это квадратный корень: 9
Корень четвёртой степени — это степень 0,25: 3
Проверка: 3 в четвёртой степени = 81
9 и 3 — одна операция с разными показателями
Свойства, которые стоит помнить
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются. Это два свойства, из которых выводится половина школьной алгебры.
Степень в степени даёт произведение показателей: (x²)³ = x⁶, а не x⁵.
Любое число в нулевой степени равно единице. Логика видна из деления: x³ ÷ x³ = x⁰, и одновременно это равно единице.
Ноль в нулевой степени не определён, как и ноль в отрицательной — там пришлось бы делить на ноль.
Действие
Правило
Пример
Умножение
xᵃ × xᵇ = xᵃ⁺ᵇ
2³ × 2² = 2⁵ = 32
Деление
xᵃ ÷ xᵇ = xᵃ⁻ᵇ
2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8
Степень степени
(xᵃ)ᵇ = xᵃᵇ
(2²)³ = 2⁶ = 64
Отрицательная
x⁻ᵃ = 1 ÷ xᵃ
2⁻³ = 1/8 = 0,125
Корни из отрицательных чисел
Корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах не существует: любое число в чётной степени неотрицательно.
А вот корень нечётной степени берётся спокойно: кубический корень из −8 равен −2, потому что −2 в кубе даёт −8.
Дробная степень отрицательного числа тоже не определена — она сводится к чётному корню в общем случае.
В комплексных числах ограничение снимается, но это уже за пределами школьной программы и этого калькулятора.
Где это встречается
Сложный процент — это степень: миллион под 8% годовых через десять лет превращается в миллион, умноженный на 1,08 в десятой степени.
Обратная задача решается корнем: чтобы узнать среднегодовую доходность за десять лет, извлекают корень десятой степени из общего роста.
Геометрия: площадь растёт как квадрат линейного размера, объём — как куб. Увеличив сторону вдвое, вы увеличите объём в восемь раз.
Физика и техника: интенсивность звука, шкала звёздных величин и децибелы устроены логарифмически, то есть через степени.
Частые ошибки
Складывают показатели при возведении степени в степень вместо умножения. (2²)³ равно 64, а не 32.
Считают, что минус в основании и минус в показателе — одно и то же. (−2)³ = −8, а 2⁻³ = 0,125.
Берут квадратный корень из отрицательного числа и получают ошибку вместо ответа.
Путают x² и 2x. Квадрат числа 5 равен 25, а удвоенное — 10.
Частые вопросы
Как возвести число в дробную степень?
Дробная степень — это корень. Степень 0,5 равна квадратному корню, 1/3 — кубическому, 0,25 — корню четвёртой степени.
Что означает отрицательный показатель?
Единицу, делённую на степень. Число 2 в степени −3 равно 1/8, то есть 0,125.
Чему равно число в нулевой степени?
Единице, любое число кроме нуля. Ноль в нулевой степени не определён.
Можно ли извлечь корень из отрицательного числа?
Нечётной степени — да: кубический корень из −8 равен −2. Чётной степени в действительных числах — нет.
Как перемножить степени?
При одинаковом основании показатели складывают: 2³ × 2² = 2⁵ = 32.