Как найти периметр: формулы и калькулятор

<a href="https://calclab.ru/matematika/perimetr/">Как найти периметр: формулы и калькулятор</a>

<iframe src="https://calclab.ru/vidzhet/matematika/perimetr/" title="Как найти периметр: формулы и калькулятор" width="100%" height="620" style="border:0;max-width:760px" loading="lazy"></iframe>
<p style="font-size:14px">Источник: <a href="https://calclab.ru/matematika/perimetr/">Как найти периметр: формулы и калькулятор — CalcLab</a></p>
<script async src="https://calclab.ru/vidzhet/v.js"></script>

Что такое периметр

Периметр — это длина границы фигуры. Представьте, что фигуру обходят по краю с верёвкой. Длина верёвки и есть периметр.

Слово пришло из древнегреческого: «пери» — вокруг, «метрео» — измеряю. Обозначают периметр буквой P.

Чтобы найти периметр многоугольника, сложите длины всех его сторон. Для прямоугольника, квадрата и круга есть короткие формулы, они ниже.

Периметр — это длина, поэтому его меряют в мм, см или метрах. Площадь — в квадратных единицах. Путать их нельзя.

Формулы периметра для всех фигур

Все формулы сводятся к одному: сложить стороны. Короткие записи просто учитывают, что часть сторон равна.

Периметр прямоугольника

У прямоугольника противоположные стороны равны. Длина встречается дважды и ширина дважды.

Сложите длину и ширину и умножьте сумму на 2. Можно и по-другому: 2a + 2b. Ответ тот же.

Сумму длины и ширины называют полупериметром. Он пригодится в обратных задачах, когда периметр известен.

Периметр квадрата

Квадрат — прямоугольник с равными сторонами. Все четыре стороны одинаковы.

Периметр квадрата равен стороне, умноженной на 4. Если дан периметр, сторону находят делением на 4.

Площадь квадрата — сторона в квадрате. У квадрата со стороной 4 периметр и площадь совпадают числом: 16 и 16. Но единицы разные: см и см².

Периметр треугольника

Периметр любого треугольника — сумма трёх сторон: P = a + b + c. Для особых треугольников формулу можно сократить.

У равностороннего все стороны равны, поэтому P = 3a. У равнобедренного две боковые стороны равны: P = a + 2b, где a — основание.

У прямоугольного треугольника часто даны только катеты. Третью сторону, гипотенузу, находят по теореме Пифагора: c = √(a² + b²).

Не любые три числа дают треугольник. Каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. Отрезки 1, 2 и 10 не сомкнутся.

Периметр круга — длина окружности

Граница круга — окружность. Поэтому периметр круга называют длиной окружности и обозначают буквой C.

Длина окружности равна диаметру, умноженному на π. Число π ≈ 3,14159 одинаково для любого круга.

Через радиус формула выглядит как C = 2πr: диаметр — это два радиуса.

Архимед оценил π, вписав в окружность и описав около неё 96-угольники. Он получил, что π лежит между 3 10/71 и 3 1/7.

Периметр многоугольника

Периметр любого многоугольника — сумма длин всех сторон. Пятиугольник, шестиугольник или фигура неправильной формы считаются одинаково.

У правильного многоугольника все стороны равны, поэтому P = n × a. Здесь n — число сторон.

Иногда дана не сторона, а радиус описанной окружности R — расстояние от центра до вершины. Тогда сторону находят так: a = 2R × sin(180° ÷ n).

У правильного шестиугольника сторона равна радиусу. Поэтому его периметр — ровно шесть радиусов.

Ромб, параллелограмм и трапеция

У ромба все стороны равны, как у квадрата: P = 4a. Углы при этом могут быть любыми.

У параллелограмма противоположные стороны равны. Формула та же, что у прямоугольника: P = 2 × (a + b).

У трапеции все четыре стороны в общем случае разные, их просто складывают. Основания — параллельные стороны, боковые — две другие.

По четырём сторонам калькулятор найдёт и высоту трапеции, а с ней площадь.

Полукруг, сектор и эллипс

Граница полукруга — половина окружности и диаметр. Диаметр часто забывают прибавить.

Периметр сектора — дуга плюс два радиуса. Длина дуги: L = πr × α ÷ 180°, где α — угол сектора в градусах.

У эллипса, то есть овала, точной школьной формулы нет. Приближённую дал Рамануджан, её ошибка меньше сотой доли процента. Калькулятор считает по ней.

Как найти сторону, если известен периметр

Обратная задача решается обратным действием. Если периметр получали умножением, сторону находят делением.

Сторона квадрата — периметр, делённый на 4. У равностороннего треугольника — на 3, у правильного n-угольника — на n.

У прямоугольника сначала находят полупериметр: P ÷ 2. Из него вычитают известную сторону.

Радиус круга по длине окружности: r = C ÷ 2π. Для этого в калькуляторе есть режим «Сторону по периметру».

Периметр и площадь: одно не определяет другое

Из одного куска проволоки можно согнуть разные фигуры. Периметр у них один, а площадь разная.

Среди прямоугольников с одним периметром наибольшая площадь у квадрата. Среди всех фигур — у круга.

Это знали ещё в древности. По легенде, царице Дидоне дали столько земли, сколько покроет бычья шкура. Она нарезала шкуру на тонкие ремни и обвела ими участок по дуге. Так, по преданию, был основан Карфаген.

Ниже — фигуры с одинаковым периметром 40 см.

В чём измеряют периметр

Периметр — длина, поэтому единицы у него те же, что у сторон. Метры в квадрате к периметру не относятся.

Перед сложением все стороны переводят в одни единицы. Стороны 30 мм и 4 см: сначала 30 мм = 3 см, затем P = 2 × (3 + 4) = 14 см.

Задачи на периметр с решениями

Такие задачи решают со 2-го по 5-й класс. Сначала найдите все стороны, потом сложите. Ответ пишите с единицами.

• Длина прямоугольника 8 см, ширина на 3 см меньше. Ширина: 8 − 3 = 5 см. P = 2 × (8 + 5) = 26 см.
• Периметр квадрата 20 см. Найдите сторону. 20 ÷ 4 = 5 см. Площадь: 5 × 5 = 25 см².
• Периметр прямоугольника 24 см, одна сторона 7 см. Полупериметр 12 см, вторая сторона 12 − 7 = 5 см.
• Стороны треугольника 5 и 7 см, третья на 2 см длиннее первой. Третья: 5 + 2 = 7 см. P = 5 + 7 + 7 = 19 см.
• Из проволоки длиной 36 см согнули квадрат. Сторона: 36 ÷ 4 = 9 см.
• Сравните квадрат со стороной 6 см и прямоугольник 8 × 4 см. Периметры равны, по 24 см. Площади разные: 36 и 32 см².
• Колесо диаметром 60 см сделало 10 оборотов. За оборот — длина окружности: π × 60 ≈ 188,5 см. За 10 оборотов — около 18,85 м.

Периметр в быту: забор, плинтус, рамка

Для забора периметр участка считают по границе. Ворота и калитку из длины сетки вычитают.

Для плинтуса из периметра комнаты вычитают ширину дверных проёмов. На подрезку и углы добавляют 5–10%.

Для рамки или багета считают по внешнему краю. Каждый угол срезают под 45°, поэтому на запил добавляют ширину профиля.

Частые ошибки

• Сложили только две стороны прямоугольника. Это полупериметр. Сумму длины и ширины нужно удвоить.
• Разные единицы. Мм и см складывают только после перевода.
• Перепутали периметр и площадь. Периметр — сумма сторон, в см. Площадь — произведение, в см².
• Радиус вместо диаметра. C = πd, но C = 2πr. Если подставить радиус в первую формулу, ответ выйдет вдвое меньше.
• Забыли диаметр у полукруга. Периметр полукруга — дуга плюс прямой край.
• Гипотенузу взяли «на глаз». У прямоугольного треугольника её находят по теореме Пифагора.

Частые вопросы

Источники

• Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 7–9 классы — многоугольники, длина окружности
• Моро М. И. и др. Математика. 2–4 классы — периметр прямоугольника и квадрата
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике — длина дуги, правильные многоугольники
• Ramanujan S. Modular equations and approximations to π — приближение длины эллипса

Другие калькуляторы