Калькулятор трапеции

Что такое трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Параллельные стороны называют основаниями, непараллельные — боковыми. Основания разной длины, иначе фигура превращается в параллелограмм.

Высота — расстояние между основаниями по перпендикуляру. Она не совпадает с боковой стороной, если та наклонная.

Равнобедренной называют трапецию с равными боковыми сторонами: у неё углы при каждом основании одинаковые, а диагонали равны.

Прямоугольная трапеция имеет одну боковую сторону под прямым углом — тогда эта сторона и есть высота.

Средняя линия

Средняя линия соединяет середины боковых сторон и идёт параллельно основаниям.

Её длина равна полусумме оснований — то есть ровно тому множителю, что стоит в формуле площади.

Отсюда второй способ записи: площадь равна средней линии, умноженной на высоту. Формула становится такой же, как у прямоугольника.

У трапеции с основаниями 10 и 4 средняя линия равна семи метрам — как если бы это был прямоугольник 7 на 4.

Свойство удобно на практике: чтобы прикинуть площадь неровного участка с двумя параллельными границами, достаточно замерить ширину посередине.

Как найти высоту, если её негде измерить

На участке или на чертеже высоту не всегда получается замерить: мешает рельеф или её просто нет в условии задачи.

Высоту выводят из четырёх сторон. Разность оснований раскладывают на две проекции боковых сторон, а дальше работает теорема Пифагора.

У равнобедренной трапеции проще: проекции равны половине разности оснований. Высота получается из корня разности квадратов.

Трапеция с основаниями 10 и 4 и боковыми по 5 имеет высоту ровно 4: проекция равна трём, а 25 минус 9 даёт 16.

Не любой набор из четырёх сторон складывается в трапецию: если боковые слишком короткие, они не дотянутся между основаниями.

Где встречается на практике

Земельные участки редко бывают прямоугольными: одна граница идёт по дороге, другая по меже, и получается трапеция.

Двускатная крыша с разной длиной скатов даёт трапециевидные плоскости — по ним считают кровельный материал.

Вальмовая крыша состоит из двух трапеций и двух треугольников, и площадь каждой считают отдельно.

Откосы насыпей, каналов и котлованов в сечении тоже трапеции: дно уже верха из-за угла естественного откоса.

В школьных задачах трапеция — самая частая фигура после треугольника, потому что на ней проверяют сразу и Пифагора, и подобие.

В раскрое ткани и металла трапециевидные детали считают по той же формуле, добавляя припуск по периметру.

Свойства, которые пригодятся

Сумма углов при каждой боковой стороне равна 180 градусам — они внутренние односторонние при параллельных основаниях.

У равнобедренной трапеции диагонали равны, а углы при каждом основании одинаковые. Это признак, по которому её узнают.

Диагонали любой трапеции делят её на четыре треугольника, из которых два подобны, а два равновелики по площади.

Отрезок между серединами диагоналей равен половине разности оснований — этим пользуются в задачах на построение.

В трапецию можно вписать окружность, только если сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Частые ошибки

Берут боковую сторону вместо высоты. Они совпадают только у прямоугольной трапеции.

Складывают основания и умножают на высоту, забыв разделить на два. Ответ выходит вдвое больше.

Путают среднюю линию с высотой: первая горизонтальная, вторая вертикальная.

Считают равнобедренной трапецию с равными основаниями — но такой фигуры не бывает, это параллелограмм.

Пытаются вывести высоту по четырём сторонам, когда боковые слишком коротки для такой разности оснований.

Применяют формулу площади прямоугольника, взяв большее основание. Получается завышение на площадь двух угловых треугольников.

Частые вопросы

Источники

• Атанасян Л. С. Геометрия, 7–9 класс — четырёхугольники
• Погорелов А. В. Геометрия, 7–9 класс
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике

Другие калькуляторы