600 м², или шесть соток — и ни одной высоты измерять не пришлось
Когда треугольника не существует
Из трёх любых отрезков треугольник не сложится. Возьмите спички длиной 1, 2 и 5 сантиметров — короткие две не дотянутся друг до друга.
Правило простое: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Проверять надо все три пары, но на практике достаточно сравнить сумму двух коротких с длинной.
Если сумма в точности равна третьей стороне, треугольник вырождается в отрезок: площадь ноль, углы 0°, 0° и 180°.
Калькулятор проверяет это неравенство до расчёта и говорит прямо, а не выдаёт «NaN» под корнем.
3, 4, 5 — существует: 3 + 4 > 5
1, 2, 5 — нет: 1 + 2 меньше 5
2, 3, 5 — вырожденный: 2 + 3 ровно 5
10, 10, 19 — существует, но очень плоский
Углы по теореме косинусов
Когда известны все стороны, углы находятся однозначно — треугольник по трём сторонам определяется единственным образом.
Теорема косинусов связывает сторону с противолежащим углом. Из неё выражают косинус, а угол берут через арккосинус.
Третий угол считать формулой уже незачем: он равен 180° минус два первых.
Порядок не путается, если помнить: против стороны a лежит угол A, против b — угол B.
cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc)
Если результат отрицательный, угол тупой — косинус меняет знак после 90°
Пример
Стороны 7, 8 и 13
cos C = (49 + 64 − 169) ÷ (2 × 7 × 8) = −56 ÷ 112 = −0,5
C = arccos(−0,5) = 120°
Оставшиеся углы: 27,8° и 32,2°
Угол 120° — треугольник тупоугольный, и виновата в этом сторона 13
Какой это треугольник
Вид определяют по самому большому углу — он всегда лежит против самой длинной стороны.
Быстрая проверка без углов: сравните квадрат длинной стороны с суммой квадратов двух других. Больше — тупоугольный, меньше — остроугольный, равно — прямоугольный.
Для 3, 4, 5 квадраты дают 9 + 16 = 25 — ровно квадрат пятёрки, поэтому египетский треугольник прямоугольный.
Равнобедренность и равносторонность проверяются проще: достаточно сравнить длины сторон между собой.
Стороны
Проверка квадратов
Вид
3, 4, 5
9 + 16 = 25
прямоугольный
5, 5, 5
25 + 25 > 25
равносторонний
7, 8, 13
49 + 64 < 169
тупоугольный
6, 6, 8
36 + 36 > 64
остроугольный, равнобедренный
10, 10, 19
100 + 100 < 361
тупоугольный, равнобедренный
Вписанная и описанная окружности
В любой треугольник вписывается ровно одна окружность и вокруг него описывается ровно одна. Их радиусы считаются из площади и сторон.
Радиус вписанной равен площади, делённой на полупериметр. У египетского треугольника это 6 ÷ 6 = 1.
Радиус описанной считают через произведение сторон: abc, делённое на четыре площади. Для прямоугольного он всегда равен половине гипотенузы.
На производстве вписанная окружность отвечает на вопрос, какой круг влезет в треугольный вырез, а описанная — какой заготовки хватит.
r = S ÷ p; R = abc ÷ (4S)
r — вписанная, R — описанная, p — полупериметр
Где это считают на практике
Участок неправильной формы разбивают на треугольники и меряют стороны рулеткой. Сумма площадей и есть площадь участка.
Кровельщики считают площадь вальмовых скатов именно так — скат вальмы это треугольник, и высоту к нему провести негде.
В раскрое ткани и металла треугольные обрезки оценивают по трём сторонам, чтобы понять, стоит ли их сохранять.
У геодезистов метод называется триангуляцией: сеть треугольников с измеренными сторонами покрывает местность, и по ней вычисляют координаты.
Замер участка рулеткой — три стороны на каждый треугольник
Площадь вальмового ската кровли
Раскрой листа и оценка обрезков
Проверка прямого угла при разметке фундамента
Частые вопросы
Как найти площадь треугольника по трём сторонам?
По формуле Герона. Сложите стороны, разделите пополам — это полупериметр p. Затем перемножьте p, p−a, p−b, p−c и извлеките корень. Для сторон 30, 40 и 50 получится 600.
Существует ли треугольник со сторонами 1, 2 и 5?
Нет. Сумма двух коротких сторон 1 + 2 = 3 меньше третьей стороны 5, значит короткие отрезки просто не сомкнутся. Калькулятор такой набор отклонит.
Как узнать углы, если известны только стороны?
Через теорему косинусов: cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc). Арккосинус этого числа и даст угол. Третий угол считают вычитанием: 180° минус два найденных.
Как проверить, что треугольник прямоугольный?
Сравните квадрат самой длинной стороны с суммой квадратов двух других. Если они равны — угол прямой. Проверка 3, 4, 5: 9 + 16 = 25, значит прямоугольный.
В каких единицах получится площадь?
В квадратах тех единиц, в которых вводили стороны. Метры дадут квадратные метры, сантиметры — квадратные сантиметры. Смешивать единицы нельзя.
Можно ли посчитать площадь по двум сторонам и углу между ними?
Да, но формула другая: половина произведения сторон на синус угла между ними. Через три стороны считать удобнее, потому что рулеткой меряют длины, а не углы.
Чему равна сумма углов треугольника?
Ровно 180 градусов, независимо от формы. Если сложить три найденных угла и получить другое число, значит где-то ошибка в исходных длинах.
Что такое равнобедренный треугольник?
Тот, у которого две стороны равны. Углы при третьей стороне тогда тоже равны между собой. Если равны все три стороны — треугольник равносторонний, и каждый угол в нём 60°.
Источники
Атанасян Л. С. и др. Геометрия, 7–9 класс
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике