Впишите радиус, диаметр, площадь или объём — калькулятор найдёт всё остальное. Покажет ответ через π, как в задачнике, и площадь сечения шара плоскостью.
Ответ через π и сечениеОбновлено 17 октября 2026Формулы стереометрии из школьной программы 11 класса
Что известно
Дробную часть — через запятую: 2,5
Единицы
Необязательно. Впишите, если нужна площадь сечения
Цилиндр и куб вокруг шара
Введите значения — расчёт появится здесь.
Калькулятор помог?
Спасибо, прочитаем.
Формула площади поверхности шара
Поверхность шара называют сферой. Её площадь зависит только от радиуса.
Площадь равна четырём площадям большого круга: S = 4πR². Большой круг — это сечение через центр, круг того же радиуса, что и шар.
Если известен диаметр, подставьте R = D/2. Тогда формула становится S = πD².
S = 4πR² = πD²
R — радиус, D — диаметр, π ≈ 3,14159
Пример
Площадь поверхности шара радиусом 3 см
R² = 3² = 9
S = 4 × π × 9 = 36π
36 × 3,14159 = 113,1
36π ≈ 113,1 см²
Объём шара
V = 4/3 · πR³. Радиус здесь в кубе, поэтому при удвоении радиуса объём растёт в восемь раз, а площадь — в четыре.
Через диаметр формула выглядит так: V = πD³ / 6.
V = 4/3 · πR³ = πD³ ÷ 6
Пример
Объём мяча диаметром 24 см
R = 24 ÷ 2 = 12 см
R³ = 1728
V = 4/3 × π × 1728 = 2304π ≈ 7238 см³
Около 7,2 литра воздуха внутри мяча
Как найти радиус по площади или объёму
В задачах часто известна площадь или объём, а найти нужно радиус. Формулы просто разворачивают.
По площади: R = √(S ÷ 4π). По объёму: R = ∛(3V ÷ 4π). Калькулятор делает это сам — выберите, что известно.
Пример
Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь большого круга
Площадь большого круга — πR², а площадь шара — 4πR²
Значит, большой круг в четыре раза меньше: 24 ÷ 4 = 6
6 — радиус искать не нужно
Площадь сечения шара плоскостью
Любое сечение шара плоскостью — круг. Его радиус находят по теореме Пифагора: радиус шара — гипотенуза, расстояние от центра до плоскости — катет.
r = √(R² − d²), площадь сечения — πr². Если плоскость проходит через центр, d = 0 и сечение — большой круг.
Впишите расстояние в поле под калькулятором, и он посчитает сечение.
r = √(R² − d²); S сеч = π(R² − d²)
d — расстояние от центра шара до плоскости
Пример
Шар радиусом 5 см рассечён плоскостью на расстоянии 3 см от центра
r = √(25 − 9) = √16 = 4 см
S = π × 16 = 16π ≈ 50,27 см²
16π ≈ 50,27 см²
Шар, вписанный в цилиндр и куб
Если шар вписан в цилиндр, высота цилиндра равна диаметру, а радиус основания — радиусу шара.
Полная поверхность такого цилиндра — 6πR², объём — 2πR³. Это ровно в 1,5 раза больше, чем у шара. Архимед считал это открытие главным и просил высечь шар в цилиндре на своей могиле.
Шар, вписанный в куб, касается граней: ребро куба равно диаметру. Куб, вписанный в шар, касается сферы вершинами: ребро равно 2R/√3.
Площадь и объём шара при разных радиусах
Радиус
Площадь поверхности
Объём
1
4π ≈ 12,57
4/3·π ≈ 4,19
2
16π ≈ 50,27
32/3·π ≈ 33,51
3
36π ≈ 113,10
36π ≈ 113,10
4
64π ≈ 201,06
256/3·π ≈ 268,08
5
100π ≈ 314,16
500/3·π ≈ 523,60
6
144π ≈ 452,39
288π ≈ 904,78
10
400π ≈ 1256,64
4000/3·π ≈ 4188,79
Где ошибаются
Подставляют диаметр вместо радиуса. Площадь выходит в четыре раза больше, объём — в восемь.
Путают площадь шара и площадь круга. У шара 4πR², у круга πR².
Забывают возвести в куб. В объёме радиус в третьей степени, а не во второй.
Округляют π до 3 в середине решения. Ответ через π точнее: 36π, а не 108.
Путают единицы. Площадь — в квадратных единицах, объём — в кубических.
Частые вопросы
Как найти площадь поверхности шара?
По формуле S = 4πR². Для шара радиусом 3: 4 × π × 9 = 36π ≈ 113,1.
Как найти площадь шара через диаметр?
S = πD². Для диаметра 6: π × 36 ≈ 113,1.
Чему равен объём шара?
V = 4/3 · πR³. При R = 3 — 36π ≈ 113,1.
Как найти радиус шара по площади поверхности?
R = √(S ÷ 4π). При S = 100π радиус равен 5.
Как найти площадь большого круга шара?
Разделите площадь поверхности на 4. При S = 24 большой круг — 6.
Как найти площадь сечения шара?
Радиус сечения r = √(R² − d²), площадь — πr². При R = 5 и d = 3 получится 16π.
Чем шар отличается от сферы?
Сфера — поверхность, шар — тело внутри неё. Площадь считают у сферы, объём — у шара.
Во сколько раз цилиндр, описанный около шара, больше шара?
В 1,5 раза — и по объёму, и по полной поверхности.
Как изменится площадь шара, если радиус увеличить в 2 раза?
Площадь вырастет в 4 раза, объём — в 8 раз.
Источники
Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10–11 классы — глава «Цилиндр, конус и шар»