Виет заметил, что корни связаны с коэффициентами напрямую, без всякого дискриминанта.
Сумма корней равна −b/a, произведение равно c/a. Для приведённого уравнения, где a = 1, это просто −b и c.
Это даёт быструю проверку: нашли корни — сложите и перемножьте, сверьтесь с коэффициентами.
Иногда корни подбираются по Виету устно: для x² − 5x + 6 нужны два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.
x₁ + x₂ = −b ÷ a; x₁ × x₂ = c ÷ a
Работает и для комплексных корней
Неполные уравнения
Когда b или c равны нулю, дискриминант считать необязательно — решается проще.
Если c = 0, выносят x за скобку: ax² + bx = 0 даёт x = 0 и x = −b/a.
Если b = 0, переносят c направо: ax² = −c, откуда x = ±√(−c/a). Корни существуют, только когда c и a разных знаков.
Если и b, и c нули, остаётся ax² = 0 с единственным корнем x = 0.
Вид
Как решать
Корни
ax² + bx = 0
вынести x
0 и −b/a
ax² + c = 0
перенести c
±√(−c/a), если знаки разные
ax² = 0
делить на a
только 0
ax² + bx + c = 0
через дискриминант
по формуле
График: парабола
График квадратичной функции — парабола, и корни уравнения это точки её пересечения с осью x.
Вершина лежит при x = −b/2a, и через неё проходит ось симметрии. Подставив это значение в уравнение, получаете вторую координату.
При a > 0 ветви идут вверх и вершина — минимум функции, при a < 0 наоборот.
Чем больше модуль a, тем уже парабола. Свободный член c — это точка пересечения с осью y.
Корни — пересечения с осью x
Вершина при x = −b/2a
a > 0 — ветви вверх, минимум в вершине
c — точка пересечения с осью y
Когда корней нет
Отрицательный дискриминант означает, что среди действительных чисел решений нет — парабола не достаёт до оси x.
В школе на этом останавливаются, а дальше вводят комплексные числа, и корни находятся всегда.
Записывают их так: x = −b/2a ± i·√(−D)/2a, где i — мнимая единица, квадрат которой равен минус единице.
Комплексные корни всегда идут парами и отличаются только знаком мнимой части. Теорема Виета работает и для них.
Пример
Уравнение x² + x + 1 = 0
D = 1 − 4 = −3
Действительных корней нет
Комплексные: x = −0,5 ± 0,866i
Проверка суммы: −0,5 + (−0,5) = −1 = −b/a
Парабола не пересекает ось x — её вершина выше оси
Где чаще всего ошибаются
Теряют знак при возведении отрицательного b в квадрат. Квадрат минус пяти — это 25, а не −25.
Забывают минус перед b в формуле корней. При b = −5 в числителе стоит +5.
Делят только первое слагаемое на 2a вместо всего числителя. Дробная черта относится к сумме целиком.
Считают, что a — это всегда единица. Если перед x² стоит число, делить надо на 2a, а не на 2.
Частые вопросы
Как найти дискриминант?
По формуле D = b² − 4ac, где a, b и c — коэффициенты уравнения ax² + bx + c = 0. Для уравнения x² − 5x + 6 дискриминант равен 25 − 24 = 1.
Сколько корней у квадратного уравнения?
Зависит от дискриминанта: положительный даёт два разных корня, нулевой — один, отрицательный — ни одного среди действительных чисел.
Что такое теорема Виета?
Связь корней с коэффициентами: сумма корней равна −b/a, произведение равно c/a. Ею удобно проверять решение и подбирать корни устно.
Как решить уравнение без свободного члена?
Вынести x за скобку: ax² + bx = x(ax + b) = 0. Отсюда сразу два корня: x = 0 и x = −b/a. Дискриминант считать не нужно.
Где находится вершина параболы?
При x = −b/2a. Подставьте это значение в уравнение — получите вторую координату. Через вершину проходит ось симметрии параболы.
Что делать, если дискриминант отрицательный?
В действительных числах решений нет — парабола не пересекает ось x. В комплексных корни есть: x = −b/2a ± i√(−D)/2a.
Может ли коэффициент a быть нулём?
Нет, иначе уравнение перестаёт быть квадратным и превращается в линейное bx + c = 0 с единственным корнем x = −c/b.
Как проверить найденные корни?
Подставить их в исходное уравнение — должен получиться ноль. Быстрее проверить по Виету: сложить корни и сравнить с −b/a, перемножить и сравнить с c/a.
Источники
Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра, 8 класс
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике