Формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы и квадрат разности

Две самые ходовые формулы. Обе дают три слагаемых, отличаются только знаком среднего.

(a + b)² = a² + 2ab + b², а (a − b)² = a² − 2ab + b². Последнее слагаемое в обеих формулах положительное: квадрат отрицательного числа тоже положителен.

Главная ошибка — записать (a + b)² как a² + b². Проверить легко: (3 + 5)² равно 64, а 9 + 25 даёт всего 34.

Удвоенное произведение — это те самые 30, которых не хватает. Геометрически это два прямоугольника 3 на 5 по краям квадрата.

Формулы работают в обе стороны: увидев a² + 2ab + b², его сворачивают обратно в квадрат суммы. Это нужно при решении уравнений.

Разность квадратов

Самая полезная формула для разложения на множители: a² − b² = (a − b)(a + b).

Она превращает разность в произведение, а с произведением уже работают: сокращают дроби и решают уравнения. Дробь с числителем x² − 9 и знаменателем x − 3 сокращается до x + 3.

В обратную сторону формула ускоряет устный счёт: 102 × 98 — это (100 + 2)(100 − 2), то есть 10 000 − 4 = 9996.

Суммы квадратов a² + b² аналогичной формулы не имеет: на множители с действительными числами она не раскладывается.

Разность квадратов работает и с выражениями: 4x² − 25 это (2x − 5)(2x + 5), потому что 4x² — квадрат 2x.

Куб суммы и куб разности

У куба слагаемых уже четыре, а коэффициенты — 1, 3, 3, 1.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. В кубе разности знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус.

Коэффициенты берутся из треугольника Паскаля: строка для второй степени — 1, 2, 1, для третьей — 1, 3, 3, 1, для четвёртой — 1, 4, 6, 4, 1.

Степени первого числа убывают, второго — растут. В каждом слагаемом их сумма равна степени: три для куба.

Куб (2 + 3) раскрывается как 8 + 36 + 54 + 27, и это ровно 125 — то есть 5³.

Сумма и разность кубов

Эти две формулы раскладывают на множители, как разность квадратов, но выражение во второй скобке сложнее.

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), а a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

Вторая скобка называется неполным квадратом: в ней стоит ab, а не 2ab, как было бы в настоящем квадрате.

Знаки запоминают правилом: в первой скобке знак тот же, что в исходном выражении, в неполном квадрате — противоположный.

В отличие от квадратов, сумма кубов на множители раскладывается. Это редкий случай, когда сумма поддаётся разложению.

Формулы помогают при сокращении дробей: числитель x³ − 8 и знаменатель x − 2 дают после сокращения x² + 2x + 4.

Зачем они нужны

Сокращение алгебраических дробей: без разложения на множители числитель и знаменатель не сократить.

Решение уравнений: перенос всего в одну часть и разложение на множители даёт корни без дискриминанта. Уравнение x² − 9 = 0 распадается на (x − 3)(x + 3) = 0.

Устный счёт: 99² считают как (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9801.

Выделение полного квадрата в квадратном трёхчлене — основа вывода формулы корней и построения параболы.

Доказательство тождеств и неравенств в олимпиадных задачах почти всегда начинается с этих формул.

Частые ошибки

Пишут (a + b)² = a² + b². Забытое удвоенное произведение — самая частая ошибка в алгебре.

Теряют знак в квадрате разности у последнего слагаемого. Он всегда плюс: (−b)² положительно.

Путают неполный квадрат с полным: в разложении кубов стоит ab, а не 2ab.

Пытаются разложить сумму квадратов a² + b². Такой формулы нет.

Ошибаются в знаках сумм и разностей кубов: в скобках знаки противоположны.

Забывают, что формулы годятся для любых выражений, а не для одних чисел: 4x² — это квадрат 2x, а не 4x.

Частые вопросы

Источники

• Макарычев Ю. Н. Алгебра, 7 класс — формулы сокращённого умножения
• Мордкович А. Г. Алгебра, 7 класс
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике

Другие калькуляторы