Возведение в степень задаёт вопрос: что получится, если умножить число само на себя несколько раз. Логарифм спрашивает обратное: сколько раз пришлось умножать.
Запись log₂8 = 3 читается так: чтобы получить восемь, двойку надо возвести в третью степень.
Основание — то число, которое умножаем. Аргумент — то, что хотим получить. Результат — показатель степени.
Отсюда сразу следуют два правила: логарифм единицы равен нулю при любом основании, а логарифм самого основания равен единице.
log_b(x) = y ⟺ b^y = x
Через натуральный: log_b(x) = ln x ÷ ln b
Пример
Логарифм тысячи по основанию десять
Вопрос: 10 в какой степени даёт 1000?
10 × 10 × 10 = 1000, значит степень третья
lg 1000 = 3
Проверка: 10³ = 1000
lg 1000 = 3 — тысяча это десять в кубе
Три основания, которые встречаются чаще всего
Десятичный логарифм удобен для порядков величин: он показывает, сколько нулей у числа.
Натуральный логарифм по основанию e появляется везде, где есть непрерывный рост: в сложных процентах, радиоактивном распаде, остывании тела.
Двоичный логарифм отвечает на вопрос «сколько раз можно разделить пополам» — отсюда его роль в информатике и оценке алгоритмов.
Число e ≈ 2,71828 — не произвольная константа: это предел, к которому стремится сумма при бесконечно частом начислении процентов.
Обозначение
Основание
Где встречается
lg x
10
порядки величин, децибелы, pH
ln x
e ≈ 2,71828
рост, распад, статистика
log₂ x
2
информатика, сложность алгоритмов
log_b x
любое
общий случай
Свойства
Главное свойство: логарифм произведения равен сумме логарифмов. Именно оно превращало умножение в сложение до появления калькуляторов.
Логарифм частного — разность, логарифм степени — произведение показателя на логарифм основания.
Из последнего следует удобный приём: степень можно вынести вперёд, и громоздкое выражение упрощается в одну строку.
Формула перехода к новому основанию сводит любой логарифм к тому, что есть в калькуляторе.
Свойство
Формула
Логарифм произведения
log(xy) = log x + log y
Логарифм частного
log(x/y) = log x − log y
Логарифм степени
log(xⁿ) = n · log x
Логарифм корня
log ⁿ√x = (log x) / n
Переход к основанию
log_b x = log_c x / log_c b
Логарифм единицы
log_b 1 = 0
Логарифм основания
log_b b = 1
Где логарифмы встречаются в жизни
Шкала громкости в децибелах логарифмическая: рост на 10 децибел означает десятикратное увеличение мощности звука.
Шкала магнитуд землетрясений тоже логарифмическая — толчок магнитудой 7 высвобождает в тридцать раз больше энергии, чем магнитудой 6.
Кислотность pH — это минус десятичный логарифм концентрации ионов водорода, поэтому шаг в единицу означает десятикратную разницу.
В финансах логарифм отвечает на вопрос «когда удвоится вклад»: срок равен логарифму двойки по основанию, равному коэффициенту роста.
Децибелы — громкость и усиление
Магнитуда землетрясений
Кислотность pH
Звёздные величины в астрономии
Срок удвоения капитала
Сложность алгоритмов O(log n)
Зачем их придумали
Джон Непер опубликовал таблицы логарифмов в 1614 году, чтобы упростить астрономические вычисления.
Умножение шестизначных чисел вручную занимало минуты, а сложение их логарифмов — секунды. Лаплас говорил, что таблицы удвоили жизнь астрономов.
Из этой же идеи выросла логарифмическая линейка: шкалы на ней размечены логарифмически, и умножение сводится к сдвигу.
Линейками пользовались до семидесятых годов прошлого века — ими считали и самолёты, и лунные миссии.
1614 год — таблицы Непера
Умножение сводится к сложению
Логарифмическая линейка — механическое воплощение
Вытеснены электронными калькуляторами в 1970-е
Частые ошибки
Пытаются взять логарифм отрицательного числа или нуля. Он не определён: никакая степень положительного основания не даст отрицательного результата.
Путают логарифм суммы с суммой логарифмов. Логарифм суммы вообще не раскладывается: log(x + y) — это просто log(x + y).
Берут основание единицу. Единица в любой степени остаётся единицей, поэтому такой логарифм бессмыслен.
Забывают, что ln и lg — разные функции. В российских учебниках lg десятичный, а в англоязычных log без индекса часто означает натуральный.
Частые вопросы
Что такое логарифм простыми словами?
Это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить число. Логарифм тысячи по основанию десять равен трём, потому что 10³ = 1000.
Чем ln отличается от lg?
У ln основание — число e ≈ 2,71828, у lg — десятка. Натуральный логарифм появляется в задачах на непрерывный рост, десятичный — там, где важны порядки величин.
Как посчитать логарифм по произвольному основанию?
Разделить натуральный логарифм числа на натуральный логарифм основания. Формула перехода работает с любым промежуточным основанием.
Почему логарифм отрицательного числа не существует?
Положительное основание в любой действительной степени даёт положительный результат. В комплексных числах логарифм отрицательного определён, но это уже другая область.
Чему равен логарифм единицы?
Нулю при любом основании: любое число в нулевой степени равно единице. А логарифм самого основания равен единице.
Как логарифм связан со сложными процентами?
Через него считают срок удвоения: разделите логарифм двойки на логарифм коэффициента роста. При 12% годовых это ln 2 ÷ ln 1,12 ≈ 6,1 года.
Почему децибелы логарифмические?
Человеческое восприятие громкости само логарифмическое: чтобы звук казался вдвое громче, мощность нужно увеличить примерно вдесятеро.
Раскладывается ли логарифм суммы?
Нет. Раскладываются только произведение, частное и степень. Логарифм суммы упростить нельзя — это частая ошибка в школьных работах.
Источники
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике
Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс
Napier J. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, 1614