Укажите первый член, шаг и номер — калькулятор найдёт нужный член и сумму первых членов.
Член и сумма разомОбновлено 29 августа 2026Алгебра, 9 класс
Прогрессия
У арифметической прибавляется, у геометрической умножается
Введите значения — расчёт появится здесь.
Калькулятор помог?
Спасибо, прочитаем.
Арифметическая прогрессия
Каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа — разности прогрессии.
Формула n-го члена простая: первый член плюс разность, умноженная на количество шагов. Шагов на один меньше номера.
Сумму первых n членов Гаусс в детстве вывел устно: он заметил, что первый и последний в сумме дают столько же, сколько второй и предпоследний.
Отсюда формула: полусумма крайних членов, умноженная на их количество.
aₙ = a₁ + (n − 1)d; Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2
d — разность, она может быть отрицательной
Пример
Первый член 2, разность 3, нужен десятый
a₁₀ = 2 + 9 × 3 = 29
Сумма: 10 × (2 + 29) ÷ 2 = 155
Ряд: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29
Десятый член 29, сумма первых десяти 155
Геометрическая прогрессия
Здесь каждый следующий член получается умножением на знаменатель, а не прибавлением.
Рост получается взрывным: степени двойки за десять шагов доходят до 512, за двадцать — до полумиллиона.
Знаменатель меньше единицы даёт убывание: члены стремятся к нулю, но никогда его не достигают.
Отрицательный знаменатель заставляет члены чередовать знаки — прогрессия колеблется.
bₙ = b₁·qⁿ⁻¹; Sₙ = b₁·(qⁿ − 1) / (q − 1)
q — знаменатель, при q = 1 сумма равна b₁·n
Пример
Первый член 1, знаменатель 2, нужен десятый
b₁₀ = 1 × 2⁹ = 512
Сумма: (2¹⁰ − 1) ÷ (2 − 1) = 1023
Ряд: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512
512 и 1023 — знакомые числа для всех, кто работал с битами
Сумма бесконечно убывающей
Если знаменатель по модулю меньше единицы, члены убывают достаточно быстро, и вся бесконечная сумма оказывается конечной.
Ряд 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … сходится к двойке — сколько бы членов ни добавляли, двойку не перешагнуть.
Это разрешение парадокса Зенона об Ахиллесе и черепахе: бесконечное число отрезков пути занимает конечное время.
Формула короткая: первый член, делённый на единицу минус знаменатель.
S = b₁ / (1 − q), при |q| < 1
При |q| ≥ 1 ряд расходится, суммы не существует
Где встречаются прогрессии
Сложные проценты — это геометрическая прогрессия: вклад каждый год умножается на один и тот же коэффициент.
Аннуитетный платёж по кредиту выводится через сумму геометрической прогрессии дисконтированных платежей.
Арифметическая описывает равномерное движение, амортизацию линейным способом, ряды сидений в зале.
В музыке частоты нот образуют геометрическую прогрессию: октава — это удвоение частоты, а полутон — умножение на корень двенадцатой степени из двух.
Сложные проценты и вклады
Аннуитетный платёж по кредиту
Линейная амортизация
Частоты музыкальных нот
Деление клеток и радиоактивный распад
Ряды сидений и ступени лестницы
Свойства и приёмы
Любой член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому соседей — отсюда и название.
У геометрической то же самое, но со средним геометрическим: член равен корню из произведения соседей.
Сумма членов, равноотстоящих от концов, у арифметической постоянна — это и есть трюк Гаусса.
Если известны два любых члена, можно найти и разность, и первый член: получается система из двух уравнений.
Свойство
Арифметическая
Геометрическая
Как растёт
прибавление d
умножение на q
n-й член
a₁ + (n−1)d
b₁·qⁿ⁻¹
Средний член
среднее арифметическое соседей
среднее геометрическое соседей
Сумма n членов
n(a₁ + aₙ)/2
b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)
Бесконечная сумма
не существует
b₁/(1 − q) при |q| < 1
Частые ошибки
Умножают разность на номер вместо количества шагов. Шагов всегда на один меньше: до десятого члена их девять.
Применяют формулу суммы геометрической при знаменателе, равном единице. Там в знаменателе получается ноль, и нужна отдельная формула: просто b₁ умножить на n.
Считают бесконечную сумму при знаменателе больше единицы. Такой ряд расходится, суммы у него нет.
Путают номер члена с его значением: десятый член ряда 2, 5, 8 — это 29, а не 10.
Частые вопросы
Как найти n-й член арифметической прогрессии?
Прибавить к первому члену разность, умноженную на номер минус один. При первом члене 2 и разности 3 десятый член равен 2 + 9 × 3 = 29.
Как посчитать сумму арифметической прогрессии?
Сложить первый и последний члены, разделить пополам и умножить на количество членов. Для ряда от 2 до 29 из десяти членов это 155.
Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической?
В арифметической каждый следующий член получается прибавлением разности, в геометрической — умножением на знаменатель. Отсюда линейный рост против взрывного.
Когда у бесконечной прогрессии есть сумма?
Когда знаменатель по модулю меньше единицы. Тогда сумма равна первому члену, делённому на единицу минус знаменатель: ряд 1 + 1/2 + 1/4 + … даёт ровно 2.
Что если знаменатель равен единице?
Все члены одинаковы, и сумма равна первому члену, умноженному на количество. Общая формула здесь не работает: в знаменателе получился бы ноль.
Может ли разность быть отрицательной?
Да, тогда прогрессия убывает. Например, 10, 7, 4, 1, −2 — это арифметическая прогрессия с разностью −3.
Как связаны прогрессии со сложными процентами?
Сумма на вкладе с капитализацией образует геометрическую прогрессию: каждый период она умножается на один и тот же коэффициент роста.
Как найти прогрессию, зная два члена?
Составить систему из двух уравнений с формулой n-го члена. Из неё находятся и первый член, и разность или знаменатель.
Источники
Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра, 9 класс
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике