Впишите числа через пробел — калькулятор проверит, взаимно простые ли они, и покажет решение алгоритмом Евклида. Во втором режиме выпишет все числа, взаимно простые с заданным.
С алгоритмом ЕвклидаОбновлено 17 октября 2026Определение по школьной программе 6 класса; алгоритм Евклида и функция Эйлера
Что сделать
Два или больше, через пробел или запятую
Введите значения — расчёт появится здесь.
Калькулятор помог?
Спасибо, прочитаем.
Что значит взаимно простые
Два натуральных числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Других общих делителей у них нет.
Проверка — найти НОД. Если он 1, числа взаимно простые, если больше — нет.
Пример
Являются ли взаимно простыми 15 и 28
Делители 15: 1, 3, 5, 15
Делители 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28
Общий — только 1
Да, взаимно простые
Как проверить алгоритмом Евклида
Выписывать делители долго, если числа большие. Алгоритм Евклида находит НОД за несколько делений.
Делим большее на меньшее, потом делитель на остаток — и так, пока остаток не станет нулём. Последний ненулевой остаток и есть НОД.
Пример
НОД чисел 1071 и 462
1071 = 462 × 2 + 147
462 = 147 × 3 + 21
147 = 21 × 7 + 0
НОД = 21 — не взаимно простые
Примеры пар
Числа
НОД
Взаимно простые
15 и 28
1
да
14 и 21
7
нет
9 и 16
1
да
12 и 35
1
да
24 и 36
12
нет
17 и 34
17
нет
25 и 49
1
да
8 и 15
1
да
Свойства взаимно простых чисел
Любые два соседних числа взаимно простые: 14 и 15, 99 и 100.
Два разных простых числа всегда взаимно простые.
Единица взаимно проста с любым числом.
Два чётных числа никогда не бывают взаимно простыми — у них общий делитель 2.
НОК взаимно простых чисел равен их произведению: НОК(8, 9) = 72.
Три числа и больше
Для нескольких чисел есть два разных свойства. Взаимно простые в совокупности — когда НОД всех чисел равен 1.
Попарно взаимно простые — когда взаимно проста каждая пара. Это сильнее: 6, 10 и 15 взаимно простые в совокупности, но не попарно — у 6 и 10 общий делитель 2.
Сколько чисел взаимно просты с n
Количество чисел от 1 до n, взаимно простых с n, называют функцией Эйлера φ(n). Для простого числа p она равна p − 1.
Функция Эйлера лежит в основе шифрования RSA, которым защищают банковские сайты.
n
φ(n)
Взаимно простые с n
2
1
1
3
2
1, 2
4
2
1, 3
5
4
1, 2, 3, 4
6
2
1, 5
8
4
1, 3, 5, 7
9
6
1, 2, 4, 5, 7, 8
10
4
1, 3, 7, 9
12
4
1, 5, 7, 11
15
8
1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14
16
8
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
20
8
1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19
Где ошибаются
Думают, что взаимно простые числа — это простые. 8 и 9 составные, но взаимно простые.
Проверяют только малые делители. 91 и 65 кажутся взаимно простыми, но оба делятся на 13.
Путают «в совокупности» и «попарно» для трёх чисел.
Считают 1 общим делителем, который мешает. Единица — общий делитель любых чисел, её не учитывают.
Частые вопросы
Какие числа называют взаимно простыми?
Те, у которых наибольший общий делитель равен 1.
Как проверить, являются ли числа взаимно простыми?
Найдите НОД. Если он 1 — взаимно простые.
Являются ли взаимно простыми 15 и 28?
Да, их НОД равен 1.
Являются ли взаимно простыми 14 и 21?
Нет, оба делятся на 7.
Могут ли составные числа быть взаимно простыми?
Да: 8 и 9, 25 и 36.
Могут ли два чётных числа быть взаимно простыми?
Нет, у них всегда общий делитель 2.
Приведите пары взаимно простых чисел.
8 и 9, 15 и 28, 25 и 49, 12 и 35, 100 и 101.
Что такое попарно взаимно простые числа?
Когда взаимно проста каждая пара из набора, например 3, 4 и 5.
Источники
Виленкин Н. Я. и др. Математика. 6 класс — НОД, взаимно простые числа
Виноградов И. М. Основы теории чисел — алгоритм Евклида, функция Эйлера