Рациональное или иррациональное число

Впишите число — калькулятор скажет, рациональное оно или иррациональное, и объяснит почему. Периодическую дробь он переведёт в обыкновенную, а корень покажет между какими целыми лежит.

С объяснением Обновлено 17 октября 2026 Определения по школьной программе 8 класса; точная арифметика целых чисел

Число

Примеры: 1/7, 0,(3), 1,2(34), √8, 2√3, √(9/4), ∛27, π, e

Примеры

Введите значения — расчёт появится здесь.

Калькулятор помог?

Что такое иррациональные числа

Рациональные числа — все, что можно записать обыкновенной дробью: целые, дроби, конечные и периодические десятичные дроби.

Иррациональные — действительные числа, которые дробью m/n записать нельзя. Их десятичная запись бесконечна и не повторяется.

Вместе рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Примеры иррациональных чисел

Число	Приближённо	Почему иррациональное
√2	1,41421356…	2 — не точный квадрат
√3	1,7320508…	3 — не точный квадрат
√8 = 2√2	2,8284271…	8 — не точный квадрат
∛2	1,2599210…	2 — не точный куб
π	3,14159265…	доказал Ламберт в 1761 году
e	2,71828182…	доказал Эйлер в 1737 году

Как отличить рациональное число от иррационального

Целые числа и обыкновенные дроби — всегда рациональные.
Конечная десятичная дробь рациональна: 0,125 = 1/8.
Периодическая дробь рациональна: 0,(6) = 2/3.
Корень из числа рационален, только если число — точный квадрат или куб: √49 = 7, ∛8 = 2.
Сумма или произведение рационального и иррационального (кроме умножения на 0) — иррациональное: 1 + √2, 3√5.

Как перевести периодическую дробь в обыкновенную

В числителе пишут число из цифр после запятой до конца первого периода минус цифры до периода. В знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр до периода.

0,(3) = 3/9 = 1/3. 0,1(6) = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6.

Пример

Переведём 1,2(34)

После запятой: 2 и период 34
Числитель дробной части: 234 − 2 = 232
Знаменатель: 990 — две девятки и один ноль
1 + 232/990 = 1222/990 = 611/495

1,2(34) = 611/495

Множества чисел

Натуральные N: 1, 2, 3… — числа для счёта.
Целые Z: натуральные, ноль и отрицательные.
Рациональные Q: все дроби m/n, в том числе целые.
Иррациональные: √2, π, e — дробью не записываются.
Действительные R: рациональные и иррациональные вместе — все точки числовой прямой.

Почему √2 иррационален

Предположим, что √2 = m/n — несократимая дробь. Тогда m² = 2n², значит m чётное: m = 2k.

Подставим: 4k² = 2n², то есть n² = 2k², и n тоже чётное. Но тогда дробь m/n сократима на 2 — противоречие.

Это одно из самых старых доказательств математики, его знали ещё в Древней Греции.

Где ошибаются

Считают 22/7 равным π. Это лишь приближение, а 22/7 — рациональное число.
Считают бесконечную дробь иррациональной. Периодическая дробь бесконечна, но рациональна.
Думают, что любой корень иррационален. √16 = 4.
Округляют √2 до 1,41 и считают число рациональным. Округление — уже другое число.

Частые вопросы

Какие числа называются иррациональными?

Те, что нельзя записать дробью m/n с целыми m и n. Их десятичная запись бесконечна и непериодична.

Является ли 1/7 иррациональным числом?

Нет, 1/7 — рациональное: это дробь, её десятичная запись 0,(142857) периодическая.

Корень из 2 — иррациональное число?

Да, √2 = 1,41421356… нельзя записать дробью.

Является ли π иррациональным?

Да, это доказал Ламберт в 1761 году.

0,(3) — рациональное число?

Да, 0,(3) = 1/3.

Корень из 9 — рациональное число?

Да, √9 = 3.

Приведите пять иррациональных чисел.

√2, √3, √5, π, e.

Ноль — рациональное число?

Да, 0 = 0/1.

Источники

Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра. 8 класс — рациональные и иррациональные числа
Ламберт И. Г., 1761 — доказательство иррациональности π